誕生月カレンダー問題

ついでだからここで解答を見ておこう。
問題を定義すると、「n人の誕生月が、ある決められたmヶ月に集まる（mヶ月の各月、1人以上の誕生者がいる）確率」。
一応、誕生月は12ヶ月等しく分布するものとしますね（実際には、1ヶ月は28〜31日とバラツキがありますが）。
これを補助的な関数を用いて、q(m, n) (1≦m≦12, m≦n) と書く。
答えは
$q(m, n) = ({m}/{12})^n - \Bigsum_{k=1}^{m-1} ({_m} C {_k}) q(k,n)$
以下に解答を。

m = 1

$q(1,n) = (1/12)^n$
ある決められた1ヶ月に、n人全員の誕生月がある確率は、1/12 の n乗。

m = 2

$q(2,n) = (2/12)^n - ({_2}C{_1})q(1,n)$
ある決められた2ヶ月（以下、A, Bとする）に、n人の誕生月が分布する確率。
n人の誕生月がA, Bの2ヶ月に集まる確率から、Aのみに集まる確率、Bのみに集まる確率を引く。

m = 3

$q(3,n) = (3/12)^n - ({_3}C{_2})q(2, n) - ({_3}C{_1})q(1,n)$
ある決められた3ヶ月（以下、A, B, Cとする）に、n人の誕生月が分布する確率。
これは、下の1から2, 3を引くと求められる。

1. n人の誕生月が、A, B, Cの3ヶ月に集まる確率
2. n人の誕生月が、A, B, Cのうちのいずれか2ヶ月に集まる確率
3. n人の誕生月が、A, B, Cのうちのいずれか1ヶ月に集まる確率

以下、同様にして、ある決められたmヶ月にn人の誕生月が集まる確率は、選ばれたmヶ月の中に誕生月がある確率から、(m-1)個以下の月に誕生月が集まる確率を引いた確率である。
したがって、上記式となる。